年终盘点丨2020年ACT数学年终总结


来源:   时间:2021-02-08 09:56:12

对于国内绝大部分志在申请美国大学本科的高中生而言,往往会选择参加SAT来求得一个标准化考试的成绩。
 
然而今年由于新冠疫情汹涌,香港、台湾及周边国家的SAT考场纷纷关闭,使得考生们欲考而不得。
 
在此情形下,具有与SAT同等效力的美国本科入学标准化考试ACT,由于在疫情得到有效控制的中国大陆境内设有面向普通学生的考场,成为了广大大陆考生自然而然甚至是无可奈何的选择。
 
既然在当前背景下不少ACT考生都是由SAT考生转变而来,那在数学部分不妨通过下表先比较一下两者的异同:
 
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可以看到,在相比起SAT数学考试,ACT数学考试的特点就在于涉及范围广,虽然说一次考试中并不是每一个知识点都会考到,题目的难度也不是特别深,但对于要拿数学高分的考生而言,对于每一个知识点,都应该成竹在胸、有备无患。
 
以下就来看看ACT数学考试中几个相对具有挑战性的考点:
 
逆否命题
 
原命题"若p,则q"等价于逆否命题"若非q,则非p"。原命题不等价于否命题"若非p,则非q",原命题也不等价于逆命题"若q,则p"。否命题(inverse)与逆命题(converse)等价。
 
例:"If a cat is tricolor, then it is female." If this statement is true, then what must also be true?
答案:If a cat is not female, then it is not tricolor.
 
二次方程及多项式方程的虚数根
 
二次方程不仅要会求实数根,若实数根不存在的话,还要会求方程的虚数根。此外,多项式方程在给定部分条件下,也会考查方程求解。
 
有理函数渐近线
 
要会求有理函数(rational function)的竖直渐近线(vertical asymptote)及水平渐近线(horizontal asymptote)。
 
三角函数(trigonometry
 
三角函数中要尤其注意符号正负的问题。此外,也要了解正弦函数及余弦函数的振幅(amplitude)和周期(period)。
 
例:What is the amplitude for the function f(x)=-5cos(5x-6)+9
答案:5
 
排列组合
 
要会求从n个不同的东西中挑出k个不同的东西出来的可能性为多少。
 
若顺序有关:nPk
若顺序无关:nCk
 
例:There are 10 points in a plane, no 3 of which are collinear. These 10 points, taken 2 at a time, determine how many distinct lines?
答案:10C2=45
 
概率
 
除了计算基本概率,还要熟练运用下列概率公式:
P(A or B)=P(A)+P(B)-P(A and B)
若A与B互斥,即两者不可能同时发生,则P(A or B)=P(A)+P(B)
若A与B独立,即两者无关,则P(A and B)=P(A)P(B)
 
例:A box contains 12 objects. Of those, 6 are disks and 6 are triangles; 4 are blue and the rest are red. There are 2 blue disks. If the probability of drawing each object is the same, what is the probability than an object drawn from the box is a blue object or a triangle?
答案:P(blue or triangle)=P(blue)+P(triangle)-P(blue and triangle)=2/3
 
等比数列(geometric sequence)求和
 
矩阵(matrix)乘法
 
矩阵运算中,矩阵的线性组合比较简单,需要留意的是矩阵的乘法:
 
矩阵A有m行n列,矩阵B有p行q列。若A×B存在,则必须满足n=p,即B的行数要等于A的列数。而乘积为矩阵C,有m行q列。矩阵C中第r行第c列的数,就等于矩阵A第r行与矩阵B第c列的向量点积。
 
椭圆(ellipse)与双曲线(hyperbola
 
要熟悉椭圆的方程,并能够求出其长轴(major axis)、短轴(minor axis)、顶点(vertex)及焦点(focus)。也要熟悉双曲线的方程,并能够求出其实轴(transverse axis)、虚轴(conjugate axis)、顶点、焦点及渐近线(asymptote)。
 
英制单位换算
 
ACT数学中有时会出现英制单位,作为常识,需要记住以下几条换算:
 
1 yard=3 feet
1 foot=12 inches
1 pound=16 ounces
 
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