临界点?驻点?极值点?—AP微积分易混淆概念剖析


来源:   时间:2017-12-15 11:18:25

生活大爆炸第一集中,Sheldon在high-IQ sperm bank担心自己犯了基因欺诈罪,问Leonard道:
 
What if she winds up with a toddler who doesn’t know if he should use an integral or differential to solve the area under a curve?
如果她最后发现那小不点连曲线下面积该用积分算还是微分算都不知道,该怎么办?

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接触过微积分的同学都会对这个问题一笑置之,用积分求曲线下面积还真不是难事。但是微积分中也确实存在一些容易混淆的知识点。很多同学在学习过程中都曾对极限存在、连续和可导的概念感到困惑,甚至有些同学直到AP微积分考完都没有理清临界点、极值点、驻点、拐点和函数图像的关系。本文将对这两组易混淆概念进行区分。
 
1.极限存在、连续和可导
(1)判定条件:
● 可导:该点连续,左导数等于右导数。
● 连续:左极限等于右极限等于函数值。
●  极限存在:左极限等于右极限。
 
(2)关系:
可导——>连续——>极限存在
上式从左边可以推出右边,右边不能推出左边。具体而言,一个函数如果可导,一定连续;如果在某点连续,该点极限一定存在。反过来,如果函数在某点极限存在,由于该点可能没有定义,所以不一定连续;如果函数在某点连续,由于该点可能是尖点(比如y=|x|在x=0处),所以导数不一定存在。
 
下面结合真题来巩固一下:
例1:
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解析:根据题干,f(x)在x=a点极限存在,由于极限存在的点可能没有定义,该点不一定连续或可导。所以这题选E.
 
例2:
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解析:
在x=3,f(x)的左极限为9,右极限为9,函数值为9,满足左极限等于右极限等于函数值,该点连续。
又因为左导数为6,右导数也为6,左导数等于右导数,该点可导。所以这题选E。
 
2.极临界点,驻点,极值点和拐点
 
(1)判定条件:
● 临界点(critical point):导数为零或者不存在的点。
● 驻点(stationary point):导数为零的点。
● 极值点(relative extrema):局部最大值或者最小值。该点前后一阶导符号发生变化。一阶导由大于零变为小于零,为极大值;由小于零变为大于零,为极小值。
● 拐点(inflection point):函数凸凹性变化的点。该点前后二阶导符号发生变化。

(2)关系:
● 临界点包括驻点和导数不存在的点。
● 极值点要在临界点里找,临界点不一定为极值点。比如y=x^3,x=0处为临界点,但不是极值点。
● 判断临界点是否为极值点的唯一原则——在该点前后函数一阶导符号(即函数单调性)是否发生变化。
●  临界点、驻点和极值点与函数的一阶导有关,拐点与函数的二阶导有关,拐点前后二阶导符号发生变化。
 
下面结合真题来巩固一下:
例1:
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解析:
(a)第一步:找critical point。极值点要到临界点里找,临界点是一阶导为零或者不存在的点。上图为一阶导图像,x=--3,1,4时一阶导为零,为临界点。
第二步:在critical point里选出该点前后一阶导由大于零变为小于零的点。图中为x=-3和x=4。
所以该问答案为x=-3和x=4,f' changes from positive to negative at -3 and 4。
补充说明:由于极值点不能在区间端点产生(极值点是该点邻域内最大或最小点,区间端点只有半个邻域,无法判定该点是否是邻域内最大或最小),所以不考虑x=-5处。
 
(b)找二阶导符号发生变化的点。二阶导为一阶导的导数。当一阶导递增时,二阶导大于零;当一阶导递减时,二阶导小于零。f'在-4,-1,2单调性发生变化,这三点为拐点。
所以该问答案为:f' changes from increasing to decreasing, or vice versa, at x=-4,-1 and 2. Thus the graph of f has inflection point at  x=-4,-1 and 2。
 
(c)increasing对应一阶导大于零,concave up对应二阶导大于零(一阶导递增)。图中大于零且递增的部分为-5<x<-4 and 1<x<2。
所以该问答案为:the graph of f is concave up with positive slope where f' is increasing and positive :-5<x<-4 and 1<x<2。
 
以上就是对两组AP微积分易混淆概念的区分,你掌握了吗?

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朱老师
广州沃邦国际教育理科教师,本科毕业于中国科学技术大学应用数学系,后取得金融硕士学位。主要负责SAT2和AP理科课程的教学工作,对短期提高理科应试能力有深入研究和独到见解。
 


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