2018年SAT年度回顾——数学|沃邦年终总结


来源:   时间:2019-01-24 10:06:25

本周沃邦教育为大家带来的是2018年SAT考试的年度盘点,由于篇幅较长故内容将总共分为4期发出,今天为大家带来的是数学篇~
 
基于现有的今年8套数学新题,对这些数学题目的重点难点来一次盘点。
 

 线性关系的意义 

 
两个变量间若存在一次函数 y=kx+b (k 为非零常数,b 为任意常数)的关系,则两者呈线性关系。有一类题目考查的是线性关系在实际应用中所体现出的意义,它们往往不涉及复杂计算,却要求同学们十分熟悉线性关系的性质,并将其同题目选项中的文字或是图表联系起来。
 
1.1 线性关系的核心性质:自变量每增加一定量,因变量便会增加一个固定量。换言之,因变量的增加量与自变量的增加量这两者间的比值是一个非零常数,而此常数便是斜率。
 
1.2 线性关系的实际意义:在 y=kx+b 中,斜率 k 的实际意义是指 x 每增加 1 时 y 所增加的量;斜率倒数 1/k 的实际意义是指 y 每增加 1 时 x 所增加的量;截距 b 的实际意义是指 x=0 时 y 所取的值。而在 y=k(x-a) 中,a 是X-截距,其实际意义是指 y=0 时 x 所取的值。
 
下面就来看几道出现于 2018 考试的例题:
 
1803 NA.4.24
\
\
根据 1.2 及题中自变量、因变量各自所指,答案为 B
 
1805 NA .3.13
\
根据 1.2 及题中自变量、因变量各自所指,答案为 A
 
1805 INT.4.23
\
根据 1.2 及题中X轴、Y轴各自所指,答案为 B
 
1810 NA.4.29
\
根据 1.2 及题中自变量、因变量各自所指,答案为 D
 
 

 指数关系的意义 

 
两个变量间若存在指数函数 y=bax/c(b为非零常数,a 为非 1 的正常数,c 为正常数)的关系,则两者呈指数关系。许多指数函数的题目考查的是指数关系在实际应用中所体现出的意义,它们往往不涉及复杂计算,却要求同学们十分熟悉指数关系的性质,并将其同题目选项中的文字或是图表联系起来。而相对于一次函数而言,指数函数更为复杂,同学们也更不熟悉,因此算得上是一个难点,做错的会比较多。
 
2.1 指数关系的核心性质:自变量每增加一定量,因变量便会乘以一个固定倍数,或者说,因变量便会增加一个固定百分比的增长率。
 
2.2 指数关系的实际意义:y=bax/c 中,截距 b 的实际意义是指 x=0 时 y 所取的值;底数 a 的实际意义是指 x 每增加 c 时 y 所乘的倍数。特别地,c=1 时,即  y=bax 中,a 指的是 x 每增加 1 时 y 所乘的倍数。
2.3 倍数与增长率的关系:一个量乘以 M 倍,相当于增加了 (M-1)*100%。即增长率=倍数-1,反之,倍数=增长率+1。
 
下面就来看几道出现于 2018 考试的例题:
 
1806 NA.4.14
\
根据 2.1,答案为D
 
1803 INT.3.15
\
根据 2.2 及题中自变量、因变量各自所指,原式的实际意义为:每 1/20 分钟(此处 20t 应当视作 t/(1/20) ),即每 3 秒钟,燃料量会乘以 19/21 ,因此答案为 B
 
1803 INT.4.24
\
根据 2.2 、2.3及题中自变量、因变量各自所指,答案为 B
 
1803 NA.3.13
\
根据 2.2 及题中自变量、因变量各自所指,答案为 A
 
1805 NA .3.10
\
根据 2.2 及题中自变量、因变量各自所指,答案为 A
 
1805 INT.3.14
\
根据 2.2、2.3 及题中自变量、因变量各自所指,答案为 D
 

 二次函数的意义 

 
二次函数的题目往往要求同学们十分熟悉二次函数不同形式在应用题中体现出的实际意义,有不少同学对于这一块不是很熟悉。
 
3.1 在二次函数一般式 y=ax2+bx+c 中,参数 c 为截距或 Y-截距,有实际意义:当 x=0 时 y 的值。
 
3.2 在二次函数交点式(两根式) y=a(x-x1)(x-x2) 中,参数 x1 和 x2 为 X-截距或零点,有实际意义:当 y=0 时 x 的值。
 
3.3 在二次函数顶点式 y=a(x-s)2+h 中,参数 s 和 h 确定图像抛物线的顶点,有实际意义:当 x=s 时 y 取最值 h。(以上 a 皆为非零常数)
 
下面就来看几道出现于 2018 考试的例题:
 
1803 INT.4.10
\
根据 3.1 ,答案为 D
 
1803 NA.4.27
\
根据 3.3 ,答案为 A
 

 多项式 

 
多项式的考点涉及多项式的零点、因式,余数定理、图像性质等概念。虽然关于多项式的考题出现的次数相对不多,但由于多项式在中学数学课本中探讨较少,因此它们往往也会带来不小挑战。
 
4.1 零点与因式的关系:常数 c 为多项式 f(x) 的一个零点(即 x=c 时,f(x)=0),等价于,x-c 为 f(x) 的一个因式。
 
4.2 多项式函数 y=f(x) 图像与x轴的交点:(x-c)n 为 f(x) 的一个因式(n 为正整数),若 n 为奇数,则函数图象会与 x 轴相交于 (c,0) 点并穿过 x 轴;若 n 为偶数,则函数图象会与 x 轴相交于 (c,0) 点却不穿过 x 轴;另外当 n>1 时,则函数图像与 x 轴相切于 (c,0) 点。
 
4.3 多项式函数 y=f(x) 的极限:若多项式最高次项系数为正,则当 x 趋向正无穷时,y 趋向正无穷,图像右端向上;若多项式最高次项系数为负,则当 x 趋向正无穷时,y 趋向负无穷,图像右端向下。若多项式最高次数为偶数,则当 x 分别趋向正负无穷时,y 分别趋向符号相同的无穷,图像左右两端同向;若多项式最高次数为奇数,则当 x 分别趋向正负无穷时,y 分别趋向符号相反的无穷,图像左右两端异向。
 
4.4 多项式余数定理:多项式 f(x) 除以 x-c (c 为任意实常数)的余数为 f(c)。
 
下面就来看几道出现于 2018 考试的例题:
 
1805 INT.3.12
\
根据 4.2,答案为 C
 
1806 NA.3.15
\
根据 4.2、4.3,答案为 A
 
1810 INT.3.10
\
\
根据 4.2、4.3,答案为 B
 

 统计量 

 
这里要求同学们会定量计算平均数、中位数、众数、极差、Q1、Q3、IQR这 7 个统计量,并能定性理解标准差这个统计量的意义以及离群值或极端值对平均数、中位数的影响。
 
5.1 平均数十分易受离群值或极端值的影响,使其显著大于或小于中位数。
 
5.2 数据分布越集中于平均值附近,则数据的标准差越小;分布分布越离散于平均值开外,则数据的标准差越大。
 
5.3 Q1、Q3 分别为第1和第3四分卫点,Q3-Q1 为 IQR。根据最小值、Q1、中位数、Q3、最大值,可以画出一组数据的箱型图。
 
下面就来看几道出现于 2018 考试的例题:
 
1806 NA.4.17
\
答案为 A
 
1803 NA.4.29
\
答案为 B
 
1812 INT.4.18
\
答案为A
 
1812 INT.4.28
\
答案为A
 
1805 NA .4.19
\
根据 5.1,答案为 A
 
1812 INT.4.21
\
根据 5.1,答案为 B
 
1805 INT.4.17
\
根据 5.2,答案为 A
 
1806 NA.4.20
\
\
根据 5.2,答案为 A
 
1810 NA.4.11
\

根据 5.2,答案为 A
 

 统计推论 

 
统计结论的得出及推广:这类题目不涉及计算,仅考概念,但由于绝大部分学生在课堂上都没接触过相关内容,因此特别容易做错。
 
6.1 实验性研究中,若要得到有效的因果结论,处理必须是随机分配给各个实验对象的;换言之,实验组和对照组必须是随机分配出来的。若不满足这个条件,则无法得到有效的因果性结论,仅能得到关联性结论。
 
6.2 观察性研究无法得出因果性结论,但能得出关联性结论。
 
6.3 在任何抽样研究中,若要将研究结果推广至某个整体,样本必须是从这个整体中随机抽选出来的。若不满足这个条件,该样本则无法代表此整体。
 
6.4 一组随机样本的均值(或比例)为 x,在一定置信水平上,其边际误差为 e,意味着可以估计总体均值(或比例)会处于 [x-e,x+e] 这个置信区间内。
 
6.5 一般来说,在一定置信水平上,同一个整体的两组随机样本中,样本量更大的样本其统计量的边际误差会更小。
 
6.6 一般来说,在一定置信水平上,同一个整体的两组随机样本中,样本标准差更大的样本其统计量的边际误差会更大。
 
下面就来看几道出现于 2018 考试的例题:
 
1803 INT.4.4
\
根据 6.3,答案为 C
 
1803 NA.4.4
\

根据 6.3,答案为 B
 
1805 NA .4.22
\
\
根据 6.3,答案为 B
 
1805 INT.4.4
\
根据 6.3,答案为 A
 
1806 NA.4.19
\
根据 6.3,答案为 B
 
1810 NA.4.7
\
根据 6.3,答案为 B
 
1810 INT.4.17
\
根据 6.3,答案为 D
 
1812 INT.4.25
\
根据 6.3,答案为 D
 
1805 NA .4.7
\
根据 6.4,答案为 C
 
1805 INT.4.29
\
根据 6.4,答案为 D
 
1806 NA.4.25
\
根据 6.4,答案为 C
 
1810 NA.4.10
\
根据 6.4,答案为 D
 
1810 INT.4.29
\
\
根据 6.4,答案为 A
 
1812 INT.4.15
\
根据 6.4,答案为 D
 

 总结 

 
2018 年截稿时这8套新的SAT数学真题,与 2017 年的数学真题相对照,有如下几个值得注意的变化:
 
1. 首次出现了箱型图及与之相关的四分卫概念;
 
2. 置信区间(即上述 6.4)的考查次数显著增加:2017 全年出现了 2 次,而 2018 年至 10 月底已出现 5 次。相关题目的难度也有一定提升。
 
3. 非计算器部分出现了更多比较繁琐的数字,刻意考查笔算能力;
 
4. 出现了更多坐标轴不是起始于 0 的数据图,要求学生看图更加仔细严谨。
 
而与 2017 年相同的是以下几个要点:
对于指数函数意义的考查仍旧会是一个难点;多项式图像的性质依然是一个重点。
 
在备考来年的 SAT 数学时,应仍要注重指数函数的意义、多项式图像性质及统计这三个方面,其中置信区间相关的概念需要做到完全深刻的理解。此外,读题、看图表以及动笔计算时候的仔细严谨,再如何注意也不为过。
 
最后需要再一次强调官方指南对于准备 SAT 数学的指导意义。在此书中,关于函数的部分明确列出了渐近线、函数奇偶性等几个至今尚未考过的概念;关于统计推论的部分则用大篇幅解释了上述 6.1 至 6.6 等大部分学生不熟悉的内容,其中 6.1、6.2、6.5 虽然在 2018 尚未考过,但于  2017 年出现过,而 6.6 至今仍未考到过。这些或许能为我们窥见来年 SAT 数学真题提供一个窗口。

本文系上海沃邦原创,未经许可禁止转载。


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