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沃邦教育年终总结丨2021年SAT数学年终总结 - 沃邦国际教育

沃邦教育年终总结丨2021年SAT数学年终总结


来源:   时间:2022-01-06 14:45:26

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本文作者:童老师-沃邦教育SAT教研组
 
下面依据几个考试重点难点对2021年迄今的SAT数学考试题目来一次盘点:
 

01.一次方程(组)解的个数

 
一次方程(组)解的个数会有不同情况,对此要能正确判断。
 
(1)关于x的一次方程
ax=b
中:若a=0且b=0,则有无数解;若a=0且b≠0,则无解;若a≠0,则有且仅有一个解。
 
(2)关于x和y的一次方程组
ax+by=c
dx+ey=f
中:若a/d=b/e=c/f,则有无数解;若a/d=b/e≠c/f,则无解;若a/d≠b/e,则有且仅有一组解。
 
下面是几道出现于2021年的考题:
 
2103NA.3.20:

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根据考点(1),答案为0.5
 
2103NA.4.28:

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根据考点(2),答案为D
 
2104Schoolday.4.34:

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根据考点(2),答案为4.5
 
2110NA.3.14:

\
根据考点(2),答案为B
 
2110AS.3.11:

\
根据考点(2),答案为B
 

02.线性关系的意义

 
两个变量间若存在一次函数 y=kx+b (k 为非零常数,b 为任意常数)的关系,则两者呈线性关系。有一类题目考查的是线性关系在实际应用中所体现出的意义,它们往往不涉及复杂计算,却要求同学们十分熟悉线性关系的性质,并将其同题目选项中的文字或是图表联系起来。
 
(1)线性关系的核心性质:自变量每增加一定量,因变量便会增加一个固定量。换言之,因变量的增加量与自变量的增加量这两者间的比值是一个非零常数,而此常数便是斜率。
(2)线性关系的实际意义:在 y=kx+b 中,斜率 k 的实际意义是指 x 每增加 1 时 y 所增加的量;斜率倒数 1/k 的实际意义是指 y 每增加 1 时 x 所增加的量;截距 b 的实际意义是指 x=0 时 y 所取的值。而在 y=k(x-a) 中,a 是X-截距,其实际意义是指 y=0 时 x 所取的值。
 
下面是几道出现于2021年的考题:
 
2103NA.3.9:

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根据考点(2),答案为A
 
2104Schoolday.3.5:

\
根据考点(2),答案为A
 
2110NA.4.3:

\
根据考点(1),答案为A
 
2110NA.4.9:

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\
根据考点(2),答案为D
 

03.指数关系的意义

 
两个变量间若存在指数函数 y=bax/c(b为非零常数,a 为非 1 的正常数,c 为正常数)的关系,则两者呈指数关系。许多指数函数的题目考查的是指数关系在实际应用中所体现出的意义,它们往往不涉及复杂计算,却要求同学们十分熟悉指数关系的性质,并将其同题目选项中的文字或是图表联系起来。
 
(1)指数关系的核心性质:自变量每增加一定量,因变量便会乘以一个固定倍数,或者说,因变量便会增加一个固定百分比的增长率。
(2)指数关系的实际意义:y=bax/c 中,截距 b 的实际意义是指 x=0 时 y 所取的值;底数 a 的实际意义是指 x 每增加 c 时 y 所乘的倍数。特别地,c=1 时,即  y=bax 中,a 指的是 x 每增加 1 时 y 所乘的倍数。
(3)倍数与增长率的关系:一个量乘以 M 倍,相当于增加了 (M-1)*100%。即增长率=倍数-1,反之,倍数=增长率+1。
(4)指数函数y=bax/c 有一条水平渐近线y=0;若将函数上下平移,得到y=bax/c+d(d为任意实常数),则水平渐近线变为y=d。
 
下面是几道出现于2021年的考题:
 
2103NA.3.15:

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根据考点(2),答案为B
 
2103NA.4.19:

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根据考点(1),答案为A
 
2103NA.4.27:

\
根据考点(3),答案为B
 
2104Schoolday.4.16:

\
根据考点(1),答案为D
 
:2104Schoolday.4.30:

\
根据考点(2),答案为C
 
2105NA.4.28:

\
根据考点(2),答案为B
 
2110NA.4.12:

\
根据考点(2),答案为A
 
2110AS.4.8:

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根据考点(1),答案为D
 
2110AS.4.25:

\
根据考点(3),答案为C
 

04.多项式

 
多项式的考点涉及多项式的零点、因式,余数定理、图像性质等概念。
 
(1)零点与因式的关系:常数 c 为多项式 f(x) 的一个零点zero(即 x=c 时,f(x)=0),等价于,x-c 为 f(x) 的一个因式factor。
(2)多项式函数 y=f(x) 图像与x轴的交点:(x-c)n 为 f(x) 的一个因式(n 为正整数),若 n 为奇数,则函数图像会与 x 轴相交于 (c,0) 点并穿过 x 轴;若 n 为偶数,则函数图像会与 x 轴相交于 (c,0) 点却不穿过 x 轴;另外当 n>1 时,则函数图像与 x 轴相切于 (c,0) 点。
(3)多项式函数 y=f(x) 的极限:若多项式最高次项系数为正,则当 x 趋向正无穷时,y 趋向正无穷,图像右端向上;若多项式最高次项系数为负,则当 x 趋向正无穷时,y 趋向负无穷,图像右端向下。若多项式最高次数为偶数,则当 x 分别趋向正负无穷时,y 分别趋向符号相同的无穷,图像左右两端同向;若多项式最高次数为奇数,则当 x 分别趋向正负无穷时,y 分别趋向符号相反的无穷,图像左右两端异向。
(4)多项式余数定理:多项式 f(x) 除以 x-c (c 为任意实常数)的余数为 f(c)。
 
下面是几道出现于2021年的考题:
 
2103NA.3.11:

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根据考点(1)与(3),答案为D
 

05.统计量

 
SAT数学要求掌握的统计量有平均数mean,中位数median,众数mode,极差range 和 标准差standard deviation。其中标准差的比较,找中位数以及中位数和均值的比较都是重中之重。以下是具体知识点:
 
(1)标准差:在比较其大小时要牢记的原则是“数据越集中越小,越分散越大”。
(2)中位数:找中位数的时候一定要按从小到大排好序,再找第(n+1)/2个数。
(3)平均数和中位数关系:随着数据分布的不同,平均数和中位数的大小也呈现不同的关系。这里牢记的原则是“存在极端偏大的值,平均数大于中位数;存在极端偏小值时,平均数小于中位数”。
(4)统计量的线性变换:所有数据都加常数k, 则平均数、中位数、众数都相应加k,而极差和标准差不变。如果只有最大值变得更大或者最小值变得更小,则中位数不变。
  
下面是几道出现于2021年的考题:
 
2104Schoolday.4.23:

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根据考点(1),答案为D
 
2105NA.4.23:

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根据考点(1),答案为C
 
2110AS.4.23:

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根据考点(1),答案为A
 

06. 统计推论

 
统计推断方面的题目关键在于概念要百分百明晰。
 
(1)样本代表性的确定:在任何抽样研究中,样本是随机抽取自哪个总体,那样本调查的结果就能且只能推广到这个总体。若非随机取样(random sampling),则该样本无法代表此总体。而且如果随机样本中的样本比例为20%,只能推出总体中的比例大约为20%,不能认为总体比例正好为20%,也不能认为再次随机抽样一定也会得到正好20%的样本比例。
(2)因果关系的确定:统计里只有实验才能确定因果关系,而实验必须得满足“随机分配处理”,也就是random assignment of treatments。如果没有满足随机分配处理,一定无法得到任何和因果关系有关的结论。注:随机取样与随机分配处理两者互相独立,互不干涉,它们分别决定的是完全不相干的两件事。
(3)置信区间:也就是confidence interval。置信区间是指通过随机样本的均值或者比例加减边际误差(margin of error),构建一个区间去估计总体均值或者总体比例。在遇到和置信区间意义有关的题目时一定要紧扣“总体均值”或者“总体比例”。
(4)一般来说,在一定置信水平上,用样本量更大的样本去估测总体,边际误差会更小。
(5)一般来说,在一定置信水平上,用样本标准差更小的样本去估测总体,边际误差会更小。
 
下面是几道出现于2021年的考题:
 
2110AS.4.24:

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根据考点(2),答案为C
 

07.总结

 
2021年SAT数学考试,有以下几个值得注意的特点:
  1. 指数函数的意义考察频数比较多、难度亦有所升高;
  2. 因果关系、调查抽样的考察次数较前几年有所下降;
  3. 标准差大小的判断考察次数不少;
  4. 一次方程(组)解的个数几乎每次考试都会考查。
 

08.2022备考建议

 
在备考来年的 SAT 数学时,应仍要注重指数函数的意义、多项式图像性质及统计这三个方面,其中置信区间相关的概念需要做到完全深刻的理解。
 
此外,读题、看图表以及动笔计算时候的仔细严谨,再如何注意也不为过。
 
最后需要再一次强调官方指南对于准备 SAT 数学的指导意义。在此书中,关于函数的部分明确列出了渐近线、函数奇偶性等几个至今尚未考过的概念。这些或许能为我们窥见来年 SAT 数学真题提供一个窗口。


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